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Bonjour très cher (ère) lecteur (trice).

 

Soyez le (la) bienvenu(e) à mon site où j’expose les résultats de mes travaux de recherche, travaux accomplis de le plus grand dénouement d’un pays du tiers monde, comme le Congo - Brazzaville.

Une ambition m’a habité en concevant et en poursuivant mes recherches dans la solitude et la pauvreté sans demander d’aide financière et matérielle : présenter une autre face de l’Afrique que celles des bouffonneries, famines, coups d’Etat et autres cruautés.

J’ai réalisé une partie du voeu de Nathalie ETOKE, écrivaine camerounaise : « aujourd’hui, l’Afrique n’a qu’un seul héros contemporain, Nelson Mandela. Nous ne pouvons que nous identifier qu’à des footballeurs ou des athlètes. Il faut autre chose. Des penseurs »(Planètes Jeunes, n°45-Juin-Juillet 2000,p.3

Aussi, je vous invite à connaître le travail réalisé en mathématique, physique, linguistique, philosophie et théorie des sciences.

De nombreux résultats et travaux n’y sont pas exposés de manière exhaustive. Je ne suis égoïste ou avare de mes connaissances, si vous en faites la demande, ils vous seront envoyés.

A ce stade, j’ai besoin de votre aide et assistance afin que je consacre le meilleur de mon temps et de mon énergie à la production intellectuelle. Cependant, le plus précieux actuellement, c’est de voir ces résultats être exploités dans l’enseignement, car « il n’y a de science que par une école permanente »(Bachelard)

J’aimerais animer un Centre pour l’avancement de la création scientifique en Afrique et un institut de muttumologie et d’accognitique ; mais ces deux écoles nécessitent des moyens matériels et financiers que je ne dispose pas !

Les africains sont particulièrement invités à s’y intéressés pour le fait que «  la vraie suprématie d’un peuple réside moins dans les discours d’estrades, les programmes à fracas que dans le travail silencieux et obstiné de quelques hommes des sciences, des lettres et des arts) (Duruy).

 

Merci de nous faire part de vos commentaires !

 

Romain Pierre MIENAHATA !

Savant et chercheur congolais

BP : 1838

BRAZZAVILLE (CONGO)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ALGEBRE DES NOMBRES (RESUME).

Les recherches rassemblées sous le terme générique de ‘’algèbre des nombres’’ traduisent une systématisation du VIIe livre du monumentale ouvrage, du mathématiciens de tous les temps Euclide, et intitulé : ‘LES ELEMENTS’.

Ce livre dans lequel Euclide expose sur les nombres pairs et impairs est exclu de l’enseignement par absence d’intérêt didactique. Ce fait a attiré mon attention, que je me suis mis à en systématiser le contenu en vue de son enseignement : d’où l’algèbre des nombres pairs et impairs, qui est très proche de l’algèbre de Boole. En conséquence l’ « ALGEBRE DES NOMBRES » «est une étude de l’univers des nombres fondée uniquement sur leur qualité : pair et impair.

 

A) LES AXIOMES DE L’ALGEBRE DES NOMBRES : 

 

·        Axiome de séparabilité : les nombres entiers sont de deux ordres : pair (noté X) et impair (noté Y).

·        Axiome de divisibilité : les nombres entiers pairs sont divisibles en deux parties égales. Les nombres entiers impairs ne sont pas divisibles en deux parties égales.

·        Axiome de précession : le prédécesseur d’un nombre pair est un nombre impair ; le prédécesseur d’un nombre impair est un nombre pair.

·        Axiome de réflexion : Tout nombre entier positif non nul est somme de son prédécesseur plus 1. Soit que : X = Y + 1, Y<X et Y = X + 1, X<Y.

Axiome d’ordonnancement : les nombres entiers pairs et impairs sont totalement ordonnés.

 

B) PROPRIETES :

 

·        Commutativité : X + Y = Y + X,   X.Y = Y.X

·        Idempotence :      X + X = X,   X.X = X  et Y.Y = Y

·        Absorption :         Y + X = Y   et   Y.X = X

·        Transformation : Y + Y = X

 

C)              LES RESULTATS DE L’ETUDE :

L’étude de l’univers des ‘nombres’ fondée uniquement sur leur nature intrinsèque : pair ou impair a abouti à l’établissement des relations  mathématiques ci-après :

 

I-) Relations d’équivalence : relations qui traduisent l’égalité entre deux expressions dont la seconde reflète la première :

a)    Constance : ∑(Y) = Y, n impair ;  ∑(X) = X, n quelconque.

b)    Transformation : ∑(Y) = X, n pair

c)    Substitution : ∑(X) = ∑(Y), X allant de 3 à n et Y de 3 à n+1, n impair

                             ∑(Y) = ∑(X), Y allant de 3 à n et X de 3 à n+1, n impair.

d)    Association : ∑(X) = ∑(Y) + X, somme de X et Y allant de 2 à n, n pair

                            ∑(Y) = ∑(X) + Y, somme de Y allant de 3 à n, et somme de X de 2 à n,

                              n impair.

e)   Expansion différentielle : ∑(X + Y) = ∑(X) + ∑(Y),

            Somme de X + Y de 1 à n ; somme de X, somme de Y de 1 à n+1, n quelconque.

f)      Expansion identitaire :∑(X) + ∑(Y) = ∑(Y) + ∑(X)

Somme de X allant de 1 à n a droite et de 1 à m a gauche ;

Somme de Y allant de  1 à m a droite et de 1 à n a gauche

g)   Expansion exponentielle :    ∑(X) + ∑(Y)  = 3ⁿ [∑(X) + ∑(Y)], somme de X et Y  allant de 1 à +∞.

i)    Oscillation :    ∑(Y) - ∑(X)  = (-1)ⁿ [∑(Y) - ∑(X)], somme de X et Y  allant de 1 à +∞.

j)   Isomorphisme : ∑(Y - X)  = ∑(Y) + ∑(X), somme de X et Y  allant de 1 à +∞.

 

 II-) Relations fractionnaires : relations issues de l’opération de division.

Les propriétés suivantes sont utilisées :

·        P1 :  X/Y = X

·        P2 : X/X = X

·        P3 : Y/Y = Y

·        P4 :  Y/X = Y/X

En outre , nous notons :   S_X,Y = X + Y  et  P _X,Y = X.Y :

 

II-1) Relations d’intérêt heuristique :

a)    Idempotence :  S_X,Y / S_X,Y  = S_X,Y

b)    Absorption : b1) X/ S_{X, Y}  = X

                                  B2) Y / S_{X, Y} = Y ou S_{X, Y}

                                                   B3)  Y^-1/ S_{X, Y}

      C) Transformation :    c-1) P _{X, Y} / S_{X, Y} = S_{X, Y}

                                          c-2) ) P _{X, Y} / S_{X, Y} = S_{X X}

                                           c-3)  ) P _{X, Y} / S_{X, Y} = S_{Y, Y}

                                         

c)    Simplification : Y^-1. P _X,Y = X.

 

II-2) Relations d’intérêt pratique :

Se fondant sur la relation a/b  +  c/d  = (ad + bc)/ bd et si X est le prédécesseur de Y :

a)     X/Y + Y/X = [X.(2Y-1) + Y]/ Y.X

b)     X/Y  -  Y/X = -(Y + X)/ Y.X

c)     Y/X  -   X/Y = ( Y + X) / Y.X

De a) se déduit la relation suivante : X² + Y² = 2XY + ( Y – X )

De b) et c) se déduisent :  X² - Y² = X + Y et X.Y = X.Y + ( Y- X ) – 1

 

N.B : Si S_X,Y = X + Y   et si S*_X,Y = X – Y alors ( S_X,Y )( S*_X,Y) = S_X,Y

 

 

III-) CAS PRATIQUES :

 

III-1) Résolution des équations de type aV +bW =c :

 

Les équations de type aV +bW =c  sont résolues à l’aide du théorème de Gauss et de l’identité de Bezout. Elles admettent une solution particulère (Vo,Wo) et une solution générale de type V = Vo – kb et W = Wo + kb.

Cette solution générale est une suite de couple en entier qui sont soit : ( X,X ), soit ( Y,Y ), soit ( X,Y), soit ( Y,X).

Ainsi, il est possible de résoudre ces équations sans la connaissance réelle des coefficients a, b, c ; de telle sorte que la méthode classique ne servira plus qu’à la vérification des résultats théoriques.

L’étude des différentes solutions par cette méthode a donné les résultats suivants :

1)    a,b,c sont des X : la solution abstraite de l’équation est :

        S= [(X,X) ; (Y,Y) ; (X,Y) ; (Y,X)]

1.    a et b sont Y et c est X : S=[ (X,X) ; ( Y,Y)]

2.    a et c sont X et b est Y :  S=[ (X,X) ; ( Y,Y)]

3.    c et b sont X et a est X :  S=[ (X,X) ; ( X,Y)]

4.    a et b sont  X et c est Y : S = Ø pas de solution en nombre entier pour cette équation.

5.    a ,b et c sont Y :               S=[ (X,Y) ; ( Y,X)]

6.    c et b sont Y et a est X :   S=[ (X,Y) ; ( Y,Y)]

7.    c et a sont Y et b est X :   S=[ (Y,X) ; ( Y,Y)].

Vérification : Soit l’équation  15V – 6W = 3, sa solution générale est :

     V= -1 + 2k et W= -3 + 5k  avec k є Z.

Aussi, si k = 0 on a le couple (-1 ; -3)

            Si k = 1 on a le couple (1 ; 2)

            Si k = 2 on ale couple (3 ; 7)

Soit que la structure abstraite de la solution générale est : [(Y ; Y), (Y ; X)]

Nota bene : Cette méthode s’applique aux systèmes d’équation et au calcul matricielle     (Cf. : chapitre V de l’étude).

 

III-2) : Soient f(n) = n² – Xn + Y et g(n) = Xn² – Yn + X

           Si l’on note  X*= Y et Y* = X, montrer que : f(Y) = f*(X) et g(Y)=g*(X)

           Et que f(X).g^-1(X) =[f(Y).g^-1(Y)]*.

Solution : en cette algèbre, la variable ‘’n’’ n’a que deux natures : X ou Y :

 

a) Si    n= X :  f(X) = X² – XX + Y = X – X + Y = X + Y = Y

           

           n = Y : f(Y) = Y² – XY + Y =  Y – Y  + Y = Y + Y = X

     Conclusion : si Y* = X :   f(Y) = X = Y* = f*(X).

 

b) Si n = X :    g(X) = XX² – YX + X = X  - X + X = X + X = X

        

         n= Y :      g(Y) = XY² – YY + X = X – Y + X = Y + X = Y

    Conclusion :si  X*= Y :  g(Y) = Y = X* = g*(X).

 

c) f(X).g^-1(X) = Y/X et  f(Y).g^-1(Y)  = X/Y  alors :

 

f(X).g^-1(X) = [f(Y).g^-1(Y)  ^]-1 = f(Y).g^-1(Y)]*.

 

 

 

Bibliographie :

MIENAHATA (R.P), L’algèbre de nombres, polycope, 57p, Brazzaville, Juin 1996

 

 

 

 

ETUDE DE LA FONCTION DECIMALE Y = O, X (RESUME)

 

La fonction décimale Y = O, X  est une exploration du comportement des fonctions mathématiques usuelles dans les petits intervalles. Elle fait intervenir l’ensemble des décimaux, dont l’étude des structures algébriques est marginalisée par les mathématiciens classiques «  car ses éléments ne répondent à aucun problème opératoire particulier ». C’est un tort en mathématique de croire que les décimaux  n’y ont été introduits que comme un moyen de calcul facile destiné aux commerçant et aux arpenteurs. L’univers fonctionnel des décimaux est complexe. Sa nature est proche de la physique quantique est des fractals.

 

A)   Présentation de la fonction :

 

a)    Définition : on appelle fonction décimale de type : O,X , une application de l’ensemble E à Variables les entiers relatifs vers l’ensemble F à valeurs dans l’intervalle]-1 ; +1[   Telle quel :

                            X є Z : X ---------------→f(x) = O, X є]-1 ; +1[   et :

                          lim [f(X)]  =   +1  quand X tend vers +∞ ; et

                          lim [f(X)]  =   -1  quand X tend vers -∞.

 

b)    Notation définitive : On appelle décimal tout rationnel qui peut s’écrire avec au diviseur une  Puissance de 10.D’où la notation : O, X = X.10^-r = X/10^r ; r est le rang de X et 10^r est lié à X. Soit que r = 1 si X est unité ; r = 2 si X est dizaine ; etc… .

 

c) Dérivée :    

 La dérivée de f(X) = O,X EST :

              (X.10^-r)’ = (X)’. 10^-r = 1. 10^-r ; r étant fonction de X et donc du numérateur, r = 1 (car 1 est unité).

D’où la dérivée de  (X.10^-r)’ = (X)’. 10^-r = 1. 10^-r = 10^-1 =0,1

                          

                         La dérivée de f(X) = O, X est f’(X) = 0,1

 

B)  Particularités de la fonction :

a)    les fonctions décimales sont des fonctions non linéaires. Elles admettent des asymptotes horizontales.

b)    Elles ont un « attracteur » le point ‘0,1’ ; car pour tout X= 10ⁿ,

      f (0, 10ⁿ) = f(0,1).

c)    Elles sont apériodiques quand bien même f(X+T) = f(X).

d)    Elles permettent de déterminer le nombre dit ‘infini’ à travers la fonction ℮^{0, X} . Car quand X tend vers +∞ : ℮^{0, X} = ℮¹. Or pour X = 99999….99999….99999….999999,   ℮^{0, X} = ℮^1.

Sachant que la lim (℮^{0, X})=℮    quand X tend vers +∞ :

∞ =  99999….99999….99999….999999 ou « neuneuf ».

En outre, si a^X = a^Y  soit que X = Y, or ℮^0,99 ≠ ℮¹. D’où l’approximation de 0,99 à 1 est absurde. A 10^-3 près, c’est 0,9999 qui est approximativement égal à 1 ; car ℮^0,9999 = ℮¹  ≈ 2,718.

e)    Elles montrent l’absurdité de la continuité dans R, l’ensemble des réels. En effet, si entre 1 et 2, entre 2 et 3, existent des nombres décimaux,  et si 0,9<0,99<0,999<….<0,99….9, il apparaît arbitraire dans R d’aller de 1 à 2, de 2 à 3 ,etc.…, sans en tenir compte.

Aussi, si Y = X est une droite dans Z, elle cesse de l’être dans R du fait de l’errement  de la  fonction entre les entiers naturels ou entre les entiers relatifs.

        f) La fonction composée de Y = O, X,     Y = X. 10^-2r, est une fonction décroissante. En effet,  lim [X. 10^-2r]  = 0  quand  X tend vers ∞.

f)      Les fonction Cos (O, X) et Sin (O, X), cessent d’être sinusoïdales. Et les fonctions ln (O, X)  ℮^{0, X} ne sont plus réciproques l’une l’autre.

 

C)  Problèmes restant à étudier :

 

L’étude de la fonction décimale laisse à découvrir et à comprendre :

a)    l’étude des équations décimales, par exemple :

·        0,X² + 0,2x + 0,1 = 0  si  X= -1, après transformation de l’équation décimale en équation entière : X² + 2X + 1=0

 

·        0, X + 1 = 0 quand X est une limite, car 0, X = -1 quand X tend vers -∞ ; par contre 0, X -2 =0  n’a pas de solution.

           B) l’étude des fonctions homographiques.

 

D)  Quelques dérivées :

 

Si l’on note  d=0,1 :

F(X) = O, X a pour dérivée F’(X)= d ;

[(O, X) ⁿ]’= dn (O, X) ^n-1

         [Cos (O,X)]’= dSin (O, X),

         [Sin (O, X)]’ = -d[Cos(O,X)]

         [ln (O, X)]’ = d/O, X

         [℮^{0, X}]’ = d℮^{0, X}…

 

    BIBLIOGRAPHIE :

 

   MIENAHATA (R. P), Etude de la fonction décimale  Y = O, X, polycope, Brazzaville, Avril 1996.

 

 

 

L’ETUDE DES FONCTIONS DU TYPE 

Y= ( F(X) )^G(X)